北京昌平高三数学辅导

昌平区 2020 年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准 2020.6一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）题 号 （ 1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （ 9） （10）答 案 B D C A B Ｃ Ａ A C B二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11） 5 （12）2 4S n n （13） 5n（14）13； 2 2 （15）①②（注： 第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分.）三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）在 ABC中，由正弦定理，因为3a cos B bsin A ，所以 3 sin Acos B sin B sin A. ? ? ? ? ? ..2 分因为sin A 0，所以 3 cos B sin B.所以 tan B 3. ? ? ? ? ? ..4 分因为0 B π，所以πB . ? ? ? ? ? .6. 分3（Ⅱ）因为b 2， c 2a ，由余弦定理2 2 2 2 cosb a c ac B 可得2 2 14 a 4a 2a 2a . ? ? ? ? ? ..8分2所以2 3 4 3a ,c . ? ? ? ? ? ..12分3 3所以1 1 2 3 4 3 3 2 3S ac sin B . ? ? ? ? ? ..14 分ABC2 2 3 3 2 31（17）（本小题满分 14 分）解 1；选择①因为PA 平面 ABCD，所以 PA AD ， PA CD . ? ? ? ? ? ..1 分因为PA AD CD 2，所以 PD 2 2 .因为PC 2 3 ，所以2 2 2CD PD PC .所以 CD PD . ? ? ? ? ? .4 分因为PAI PD P，所以 CD 平面 PAD . ? ? ? ? ? .6 分 所以 CD AD .因为CD BC ，所以 AD // BC . ? ? ? ? ? .7 分 所以四边形 ABCD是直角梯形 .解 2；选择②因为PA 平面 ABCD，所以 PA AD ， PA CD . ? ? ? ? ? ..1 分z因为PA AD CD 2，P 所以 PD 2 2 .因为PC 2 3 ，E所以2 2 2CD PD PC .AD所以 CD PD .? ? ? ? ? .4 分因为PAI PD P，MB Cy所以 CD 平面 PAD .x所以 CD AD . ? ? ? ? ? .6 分因为BC // 平面 PAD， BC 平面 ABCD，平面 PAD I 平面 ABCD =AD ，所以 BC // AD .所以四边形 ABCD是直角梯形 . ? ? ? ? ? .7 分过A作 AD 的垂线交BC 于点 M .因为PA 平面 ABCD，所以 PA AM ,PA AD . ? ? ? ? ? .8 分如图建立空间直角坐标系A xyz . ? ? ? ? ? .9 分2则A(0,0,0), C (2,2,0), D (0,2,0), P(0,0,2) .因为E为PB 中点，1E(1, ,1).所以所以2u uur u uur u uur1AE (1, ,1),PC (2,2, 2), PD (0,2, 2)2r设平面 PCD的法向量为n (x, y, z)，则. ? ? ? ? ? .10 分r u uurn PC 0,r u uur 即n PD 0.2x 2y 2z 0,2y 2z 0.? ? ? ? ? .11分令 y 1,则z 1,x 0 .r于是 n (0,1,1). ? ? ? ? ? .12 分设直线AE 与平面 PCD所成的角为，所以r u uursin

cos n, AE

12r u uurn AE1 1 1 2r u uur .3 6

2n AE2所以直线AE与平面 PCD 所成角的正弦值为26. ? ? ? ? ? .14分(18)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为(0.05+0.1+0.18+ a 0.32 0.1 0.03 0.02) 1 1 ，所以 a 0.2. ? ? ? ? ? .2分因为0.2 1 100=20，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在[5,6) 的学生有 20人. ? ? .3 分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生， 这名学生该天居家自主学习和锻炼身20体总时间在[5,6) 的概率为100=0.2. ? ? ? ? ? .5分（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3) 和 [8,9) 的人分别有5 人和 3 人. ? ? ? ? ? . 6 分所以 X 的所有可能取值为0,1,2,3. ? ? ? ? ? . 7 分P(X 0)