双曲线abc关系 双曲线的基本知识点

一、双曲线abc关系

a代表双曲线顶点到原点的距离（实半轴），b代表双曲线的虚半轴，c代表焦点到原点的距离(半焦距)，a，b，c满足关系式a²+b²=c²。双曲线x²/a²-y²/b²=1。

一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

二、双曲线的基本知识点

双曲线的定义：

平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

双曲线的标准方程和几何性质：

区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a＝b＋c，而在双曲线中c＝a＋b，双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)。

渐近线与离心率：

可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小。

[注意] 当a b 0时，双曲线的离心率满足1 e √2；

当a＝b 0时，e＝√2(亦称为等轴双曲线)；

当b a 0时，e √2。

双曲线的定义及标准方程：

直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点。

应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支。

双曲线方程的求法：

(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn 0)。

(2)与双曲线x/a-y/b=1有共同渐近线的双曲线方程可设为x/a-y/b＝λ(λ≠0)。

(3)若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)。

直线与双曲线的位置关系：

判定直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax＋bx＋c＝0(或ay＋by＋c＝0)．

若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：

Δ 0直线与双曲线相交；

Δ＝0直线与双曲线相切；

Δ 0直线与双曲线相离．

若a＝0且b≠0，则直线与双曲线相交，且有一个交点。

直线与双曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题，解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。

当直线与双曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。

同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。

解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入。

与中点有关的问题常用点差法。

注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系。

双曲线有关典型例题分析：

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(√3，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋√2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA―→,·OB―→,＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．

区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a＝b＋c，而在双曲线中c＝a＋b，双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)。

一定要记住根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系。

若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为mx＋ny＝1(mn 0)。

若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)。

已知渐近线方程y＝mx，求离心率时，若焦点位置不确定时，m＝b/a(m＞0)或m＝a/b，故离心率有两种可能。

解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用。