2021高考数学还考参数方程吗

2020-2021学年高考数学（理）考点：参数方程与普通方程的互化与应用1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角为α(α为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r(θ为参数)长半轴a和短半轴b椭圆＋＝1(a＞b＞0)(θ为参数)实轴a和虚轴b双曲线－＝1(a＞0，b＞0)(θ为参数)已知p抛物线y2＝2px(p＞0)2. 参数方程与普通方程的转化（1） 参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：解：思路一：代入消元：∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝0. 思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）平方：相加：2. 参数方程涉及题型（1） 直线参数方程的几何意义（2） 距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一直线参数方程的几何意义.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0=；(2)

（5）（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特别提醒】1.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：

是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即

.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；2. 解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t的一元二次方程：第三步：韦达定理：第四步：选择公式代入计算。3.直线与两曲线分别相交，求交点间的距离：思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。4.面积的最值问题：面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题真题演练1．（2020•上海）已知直线方程的一个参数方程可以是 A．为参数） B．为参数） C．为参数） D．为参数）【答案】B【解析】为参数）的普通方程为：，即，不正确；为参数）的普通方程为：，即，正确；为参数）的普通方程为：，即，不正确；为参数）的普通方程为：，即，不正确；故选．2．（2019•北京）已知直线的参数方程为为参数），则点到直线的距离是 A． B． C． D．【答案】D【解析】由为参数），消去，可得．则点到直线的距离是．故选．3．（2019•天津）设，直线和圆为参数）相切，则的值为__________．【答案】【解析】，直线和圆为参数）相切，圆心到直线的距离：，解得．故答案为：．4．（2020•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，与坐标轴交于，两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【解析】（1）当时，可得舍去），代入，可得，当时，可得舍去），代入，可得，所以曲线与坐标轴的交点为，，则；（2）由（1）可得直线过点，，可得的方程为，即为，由，，可得直线的极坐标方程为．5．（2020•新课标Ⅱ）已知曲线，的参数方程分别为为参数），为参数）．（1）将，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【解析】（1）曲线，参数方程为：为参数），转换为直角坐标方程为：，所以的普通方程为．曲线的参数方程：为参数）．所以①②整理得直角坐标方程为，所以的普通方程为．（2）法一：由，得，即的直角坐标为．设所求圆的圆心的直角坐标为，，由题意得，解得，因此，所求圆的极坐标方程为．法二：由，整理得，解得：，即．设圆的方程，由于圆经过点和原点，所以，解得，故圆的方程为：，即，转换为极坐标方程为．6．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标．【解析】（1）当时，曲线的参数方程为，为参数），消去参数，可得，故是以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）法一：当时，，消去得到的直角坐标方程为，的极坐标方程为可得的直角坐标方程为，，解得．与的公共点的直角坐标为．法二：当时，曲线的参数方程为，为参数），两式作差可得，，得，整理得：，．由，又，，．联立，解得（舍，或．与的公共点的直角坐标为．7．（2019•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值．【解析】（1）由为参数），得，两式平方相加，得，的直角坐标方程为，由，得．即直线的直角坐标方程为得；（2）法一、设上的点，，则到直线得的距离为：．当时，有最小值为．法二、设与直线平行的直线方程为，联立，得．由△，得．当时，直线与曲线的切点到直线的距离最小，为．8．（2018•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系中，的参数方程为为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求，中点的轨迹的参数方程．【解析】（1）的参数方程为为参数），的普通方程为，圆心为，半径，当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，成立；当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，倾斜角为的直线与交于，两点，圆心到直线的距离，，或，或，综上的取值范围是，．（2）的参数方程为，为参数，，设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足，，满足，中点的轨迹的参数方程为：，为参数，．9．（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：．直线的参数方程为为参数）．转换为直角坐标方程为：或．（2）把直线的参数方程为参数），代入椭圆的方程得到：整理得：，则：，（由于和为、对应的参数）由于为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：，解得：，即：直线的斜率为．10．（2017•江苏）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．【解析】直线的直角坐标方程为，到直线的距离，当时，取得最小值．11．（2017•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到距离的最大值为，求．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），化为标准方程是：；时，直线的参数方程化为一般方程是；联立方程，解得或，所以椭圆和直线的交点为和，．（2）的参数方程为参数）化为一般方程是：，椭圆上的任一点可以表示成，，，所以点到直线的距离为：，满足，且的的最大值为．①当时，即时，解得和，符合题意．②当时，即时，解得和18，符合题意．综上，或．12．（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）写出的普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．【解析】（1）直线的参数方程为，为参数），消掉参数得：直线的普通方程为：①；又直线的参数方程为，为参数），同理可得，直线的普通方程为：②；联立①②，消去得：，即的普通方程为；（2）的极坐标方程为，其普通方程为：，联立得：，．与的交点的极径为．强化训练1．（2020•杨浦区校级模拟）已知曲线的参数方程为，其中参数，则曲线 A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称性【答案】C【解析】由于为奇函数，为奇函数，故曲线关于原点对称．故选．2．（2020•杨浦区二模）已知曲线的参数方程为是参数），曲线的参数方程为是参数），则和的两个交点之间的距离为__________．【答案】【解析】由曲线的参数方程是参数），得其普通方程为，由曲线的参数方程是参数），得其普通方程为，则曲线是以为圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，和的两个交点之间的距离为．故答案为：．3．（2020•奉贤区二模）已知圆的参数方程为为参数），则此圆的半径是__________．【答案】2【解析】圆的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，所以该圆为以为圆心，2为半径的圆．故答案为：2．4．（2020•长