2022天津高考考椭圆吗

试卷点评 今年的天津卷延续了去年天津卷的风格，非常重视对基本功的考查．选择题最后一题和填空题最后一题都中规中矩，不需要用什么技巧，只需要扎实的数学功底．解析几何大题也不涉及一些热点的圆锥曲线的性质，而是朴实无华的计算．压轴题大题是我们在模拟考试中经常遇到的“被关起来的二次函数”问题的升级版本，第(2)小题的提示给的非常隐晦，如果用常规方法颇有难度．总的来说，今年的天津卷的难度在全国各卷来说相对较高，而试题风格相对最稳定．

理科第8题（选择压轴题）：

已知函数（，且） 在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

解 因为在上单调递减，所以解得

接下来思考函数的图象与直线以及的公共点个数，如图．

当时，符合题意．当变大时，设函数则，而，因此在区间上题中方程有且只有一个实数解．这样问题就转化为了方程在区间上只有一个实数解．设则，因此得到分界点．

情形一 ．

此时，而的图象开口向上，因此方程在区间上有且只有一个实数解，符合题意．

情形二 ．

此时，而的对称轴满足，进一步其判别式于是方程在区间上有且只有一个实数解，符合题意．

情形三 ．

此时，而的对称轴满足，进一步可得其判别式即时符合题意．

综上所述，的取值范围是．

理科第14题（填空压轴题）：

设抛物线（为参数，）的焦点为，准线为．过抛物线上一点作的垂线，垂足为．设，与 相交于点． 若，且的面积为，则的值为______．

解 由题意可知，抛物线的普通方程为，点坐标为，准线的方程为，如图．

设点坐标为，不妨设．由于，故解得进一步可求得点坐标为．

因为与相似，且，所以即解得．

理科第19题（解析几何）：

设椭圆()的右焦点为，右顶点为．已知 ，其中为原点，为椭圆的离心率．

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．

解 (1) 由 可知解得．故椭圆方程为．

(2) 如图，设点坐标为，其中，点坐标为．

因为，故，解得因为点在直线上，所以可以设点坐标为．由题意，，所以故因为，所以，解得．令，由于故；由于故．所以或．

设直线的斜率为，则因为或，所以或．

综上所述，直线的斜率的取值范围是．

理科第20题（解答压轴题）：

设函数，，其中．

(1) 求的单调区间；

(2) 若存在极值点，且，其中，求证：；

(3) 设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．

分析 第(1)小题考查利用导函数研究函数的单调性；第(2)小题考查利用导函数研究函数的极值点．第(3)小题在第(2)小题的基础上可以画出极端情形：