南方凤凰台2022江苏新高考版生物答案

[南方凤凰台](江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第23课 三角函数的诱导公式 文

第23课 三角函数的诱导公式

(本课时对应学生用书第 页

)

自主学习 回归教材

1.(必修4P20练习2改编)计算：tan 2 010°= .

[答案]

[解析]tan 2 010°=tan 30°

=.

2.(必修4P19例1改编)计算：cos

52π-3?? ???= . [答案]-1

2

[解析]cos 52π-3?? ???=cos 52π3=cos π17π3??+ ?

?

?=-cos π3=-12.

3.(必修4P20练习3改编)化简：sin 2

(π+α)-cos(π+α)2cos(-α)+1= . [答案]2

[解析]原式=(-sin α)2

-(-cos α)cos α+1=sin 2

α+cos 2

α+1=2.

4.(必修4P21例4改编)若cos π-6α?? ??

?=-13，则sin 2π-3α??

??? 的值为 .

[答案]-1

3

[解析]sin 2π-3

α?? ???=cos π2π--23α???? ???????=cos π-6α?? ?

??=-13.

5.(必修4P23习题17改编)已知sin π6x ??+ ???=a ，那么sin 5π6x ??- ???-sin 2π-3x ?? ???+1= .

[答案]a+a

2

[解析]sin 5π-6x ?? ???-sin 2π3x ??- ???+1=sin ππ-6x ????+ ???????-sin 2ππ-26x ????+ ???????+1=sin π6x ??+ ???-cos

2

π6x ?

?+ ???+1=sin π6x ??+ ???+sin 2

π6x ??+ ???=a+a 2.

1.诱导公式

2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤

(1)把求任意角的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值； (2)把求0°~360°角的三角函数值转化为求0°~90°角的三角函数值； (3)求0°~90°角的三角函数值.

[要点导学]

要点导学 各个击破

利用诱导公式进行化简求值

例1 (1)已知cos(π+α)=-12，且3π

2<α<2π，求sin(2π-α)的值；

(2)已知3sin(π)cos(-)

4sin(-)-cos(9π)αααα+++=2，求tan α的值.

[思维引导]将已知条件转化为单角的三角函数，再利用诱导公式求解.

[解答](1)由已知得cos α=1

2. 又因为3π

2<α<2π，所以sin α<0，

所以sin(2π-α)=-sin α=-(

2. (2)3sin(π)cos(-)4sin(-)-cos(9π)αααα+++=-3sin cos -4sin cos αα

αα++=2，

所以-3sin α+cos α=-8sin α+2cos α，

所以5sin α=cos α，所以tan α=1

5.

[精要点评]使用诱导公式求解三角函数问题时，一要注意函数名是否改变，二要注意符号是否改变.

例2 已知f (α)=πsin -cos(2π-)tan(-3π)2πtan(π)sin 2ααααα??

+ ???

??

++ ?

??.

(1)化简f (α)；

(2)若α是第三象限的角，且cos 3π-2α?? ?

?

?=1

5，求f (α)的值.

[思维引导]解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值.特别注意符号以及名称的变化.

[解答](1)f (α)=cos cos (-tan )

tan cos ααααα=-cos α.

(2)因为cos 3π-2α??

?

?

?=-sin α， 所以sin α=-1

5，又α是第三象限角，

所以cos α

，

所以f (α)

=5.

[精要点评]重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.

变式 (20142湖南联考)设α是第三象限角，且tan α=2，则

πsin -cos(π)23πsin 2ααα??

+ ???

??+ ???= .

[答案]

-5

[解析]原式=cos (-cos )

-cos ααα?=cos α，

又因为tan α=2，α是第三象限角，所以易得cos α

=-.

含相同变量的复合角与诱导公式的运用

例3 已知cos(75°+α)=1

3，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值. [思维引导]结合诱导公式把cos(15°-α)与sin(α-15°)用条件cos(75°+α)=1

3分别

求出.

[解答]因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)， 又α是第三象限角，则sin(75°+α)<0，

所以sin(75°+α)

3. 因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-

1

3，

所以cos(15°-α)+sin(α-15°)

=-13+. [精要点评]利用诱导公式时，要注意已知角与未知角之间的联系.

变式1 已知sin π-6θ?? ???=a ，那么cos

2π3θ??

- ???= . [答案]-a

[解析]cos 2π-3

θ?? ???=cos π26πθ????+- ???????=-sin π-6θ??

???=-a.

变式2 已知sin π6x ??+ ???=13，求sin 7π6x ??+ ???+cos 25π-6x ?? ???的值. [解答]因为π6x ??+ ???+5π-6x ?? ???=π，7π6+x=π+

π6x ??+ ?

??. 所以原式=sin ππ6x ????++ ??????

?+cos 2

ππ-6x ????+ ???????

=-sin

π

6

x

??

+

?

??+

2

π

-cos

6

x

??

??

+

?

??

??

??

=-1

3+

1

1-

9

??

?

??=

5

9.

例4已知sin(3π-α)

3π

2

β

??

+

?

??cos(-α)

π+β)，0<α<π，

0<β<π，求α，β的值.

[思维引导]求角的大小必须先求出含这个角的某个三角函数的值，再求出这个角的大小.

[解答]由已知等式可得sin α

β，①

α

β. ②

两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，

则sin α

=±2.

又因为0<α<π，所以sin α

=2，α=

π

4或

3π

4.

当α=π

4时，由①②可得sin β=

1

2，cos β

=2，

又0<β<π，所以β=π6；

当α=3π

4时，由①②可得sin β=

1

2，

cos β

=-2，又0<β<π，所以β=

5π

6.

故α=π

4，β=

π

6或α=

3π

4，β=

5π

6.

[精要点评]求角的大小时一定要注意角的范围，再结合三角函数值的大小完成.

1.已知sin

5π

2

α

??

+

?

??=

1

5，那么cosα= .

[答案]1 5

2.若sin

π

-

6

α

??

?

??=-

1

3，则cos

π

3

α

??

+

?

??= .

[答案]-1 3

[解析]cos

π

3

α

??

+

?

??=cos

ππ

--

26

α

??

??

?

??

??

??=sin

π

-

6

α

??

?

??=-

1

3.

3.(20152金陵中学)已知tan

π

-

6

α

??

?

??

=3，则tan

5π

6

α

??

+

?

??= .

[答案]

-3

[解析]因为

π

-

6

α

??

?

??+

5π

6

α

??

+

?

??=π，

所以tan

5π

6

α

??

+

?

??=-tan

5π

6

πα

??

??

-+

?

??

??

??=-tan

π

-

6

α

??

?

??

=-.

4.若cos α=1

3，则

cos(2π-)sin(π)

π

sin tan(3π-)

2

αα

αα

?+

??

+?

?

??= .

[答案]1 3

[解析]原式=cos(-sin)

cos(-tan)

αα

αα

?

?=cos α=

1

3.

5.在△ABC中，若sin(2π+A)

π-B)

π-B)，求△ABC的三个内

角.

[解答]

由已知得

sin A B

A B ?=

?

=

，

，

所以sin2A+3cos2A=2，所以cos

A=±.

①当cos

A=2时，cos

B=，又因为A，B是三角形的内角，

所以A=π

4，B=

π

6，C=

7π

12；

②当cos

A=-时，cos

B=-，A，B均为钝角，不合题意.

所以A=π

4，B=

π

6，C=

7π

12.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第45~46页.

[检测与评估]

第23课三角函数的诱导公式

一、填空题

1.计算：sin 210°=.

2.计算：cos 10π

3= .

3.计算：tan

23π

-

6

??

?

??= .

4.若sin

π

2

α??

+

?

??=

1

3，且α∈

π

-0

2

??

?

??

，

，则tanα= .

5.若cos(-80°)=k，则tan 100°=.

6.已知sin

π

12

α??

+

?

??=

1

3，那么cos

7π

12

α??

+

?

??的值为.

7.已知A=sin(π)

sin

kα

α

+

+

cos(π)

cos

kα

α

+

(k∈Z)，那么A的值构成的集合为.

8.若sin(π-α)-cos(-α)=1

2，则sin3(π+α)+cos3(2π-α)的值为.

二、解答题

9.化简：

sin(π-)cos[(-1)π-]

sin[(1)π-]cos(π)

k k

k k

αα

αα

?

+?+(k∈Z).

10.已知函数f(α)=sin(π-)cos(π) cos(2π-)tan(π-)

αα

αα

+

.

(1)求f

31π

-

3

??

?

??的值；

(2)若2f(π+α)=f

π

2

α

??

+

?

??，求

sin cos

sin-cos

αα

αα

+

+cos2α的值.

11.已知cos

π

-

6

α

??

?

??

=3，求cos

5π

6

α

??

+

?

??-sin2（α-

π

6）的值.

三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)

12.已知函数f(cos x)=cos 5x，则f

π

cos

6

??

?

??= ；f

1

2

??

?

??= ；f(sin

x)= .

[检测与评估答案]

第23课三角函数的诱导公式

1.-1

2[解析]sin 210°=-sin 30°=-

1

2.

2.-1

2[解析]cos

10π

3=cos

4π

3=-cos

π

3=-

1

2.

3.

[解析]tan

23π

-

6

??

?

??=tan

23π

4

6

π

??

-+

?

??=tan

π

6

=.

4.-

[解析]因为sin

π

2

α??

+

?

??=

1

3，α∈

π

-0

2

??

?

??

，

，所以cosα=

1

3，sinα

=-3，则

tanα=-

5.

-k[解析]由题意知cos 80°=k，所以sin 80°

，tan 80°

=k，所

以tan 100°=tan(180°-80°)=-tan 80°

=-k.

6.-1

3[解析]cos

7π

12

α??

+

?

??=cos

ππ

122

α??

++

?

??=-sin

π

12

α??

+

?

??=-

1

3.

7. {2，-2}[解析]若k为偶数，则A=sin

sin

α

α+

cos

cos

α

α=2；

若k为奇数，则A=-sin

sin

α

α+

-cos

cos

α

α=-2.

8.-11

16[解析]由题知sin α-cos α=

1

2，两边平方，得1-2sin αcos α=

1

4，所以sin

αcos α=3

8，所以sin3(π+α)+cos3(2π-α)=-sin3α+cos3α=-(sin α-cos