高考立体几何大题及答案

卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面ABCD 同一 侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC. 试题解析：（）连接BD，设BDAC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD 中，不妨设GB=1， 由ABC=120，可得AG=GC= 由BE平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC， 又AEEC，EG= ，EGAC，在RtEBG 中，可得BE= 在RtFDG中，可得FG= 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE= EGFG EF ，EGFG，ACFG=G，EG平面AFC， EG 面AEC，平面AFC平面AEC. （）如图，以G 为坐标原点，分别以 GBGC 为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，－ AECF AE CF AE CF 所以直线AE与CF 2、（2016年1卷18题）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, 90 AFD ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F 都是60 （I）证明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A 的余弦值． 试题解析：（I）由已知可得 平面FDC 平面FDC ,垂足为G,由（I）知DG 平面 以G为坐标原点,GF 的方向为x轴正方向, GF 的平面角,故DF 60 平面FDC 又平面CD 平面FDC DC ,可得平面 FDC 是平面CD 19cos 1919 卷19题）（本小题满分12 如图，菱形ABCD的对角线AC 与BD 交于点O， 分别在AD，CD AECF ，EF交BD 于点H.将DEF 沿EF 折到DEF 的位置10 OD 平面ABCD；（II）求二面角B 的正弦值.[解析]证明： AECF AECF AD CD ，EFAC 四边形ABCD为菱形，ACBD ，EFBD ，EFDH EFDH ，AOOB AEOH OD AO ODOH ．又OHEF 建立如图坐标系Hxyz ABD法向量 cos25 uruur ur uur 95sin 25 卷18题）如图，在四棱锥 ABCD 90BAP CDP PAPD AB DC 90APD 的余弦值．[解析]（1）证明： 90 BAP CDP PAAB ，PDCD ABCD ，PDAB PDPA ，PD、PA平面PADAB平面PAD，又AB平面PAB 平面PAB平面PAD （2）取AD中点O，BC 中点E ，连接PO，OE AB CD 四边形ABCD为平行四边形 OE AB 由（1）知，AB平面PAD OE 平面PAD，又PO、AD平面PAD OE PO ，OEAD 又PAPD ，POAD PO、OE、AD两两垂直以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 90APD ，PDPA 又知AB平面PAD，PD平面PADPD AB PAAB PD平面PAB即PD 由图知二面角APB 分别为AD，BC 的中点，以DF 为折痕把 DFC 到达点P的位置，且PF BF 证明：平面PEF平面ABFD ADBC 的中点，则 EFAB EFBF 又PFBF ，EFPF 平面ABFD，平面PEF 平面ABFD （2）PFBF BFED，PF ED 又PFPD ，EDDP 平面PED，PF PE 作PHEF 由平面PEF平面ABFD 平面ABFD，连结DH 由PEPF EF PH PHPDH PD 6.(2018年新课标理)如图,在三棱锥PABC中,AB＝BC＝2 2,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为 AC 的中点. （1）求证:PO平面ABC； 在棱BC上,且二面角MPAC 为30,求PC 与平面PAM [解析]（1）证明:AB＝BC＝22,AC＝4,AB ABC是直角三角形. 为AC的中点,OA＝OB＝OC. PA＝PB＝PC,POAPOBPOC. POA＝POB＝POC＝90. POAC,POOB,OBAC＝0,PO平面ABC. 坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系如图所示. ＝(－2,2,0).设BM ＝(－2λ,2λ,0)－(－2,－2,0)＝(2－2λ,2λ＋2,0),则平面PAC 的一个法向量为m＝(1,0,0). 设平面MPA 的法向量为n＝(x,y,z),则PA ＝－2y－23z＝0,nAM 二面角MPAC为30,cos30＝ PC与平面PAM 所成角的正弦值sin θ＝|cos〈PC －23－2 1616 （12分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，BAD＝60，E， 分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN平面C1DE； （2）求二面角AMA1N 的正弦值． 解答]（1）证明：如图，过N 作NHAD，则NHAA1，且 又MBAA1，MB＝，四边形NMBH 为平行四边形，则NMBH， 由NHAA1，N 为A1D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点， BEDH，BE＝DH，则四边形BEDH 为平行四边形，则BHDE， NMDE， NM 平面C1DE，DE 平面C1DE， MN平面C1DE； 为坐标原点，以垂直于DC得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD1 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， ，1，2），A1（，1，4）， 设平面A1MN的一个法向量为 又平面MAA1的一个法向量为 二面角AMA1N的正弦值为 8．（12分）(2019 年新课标理） 如图，长方体ABCD–A 的底面ABCD是正方形，点E 在棱AA 的正弦值.解：（1）由已知得， ，所以BE平面 90BEB RtRt ABE ABE ，所以45 AEB 故AEAB AAAB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 1,1)CE CBCE CCCE 所以可取m=（1，1，0）．于是