高三复习集合与绝对值不等式

. 1 绝对值不等式 绝对值不等式

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=

(x-3)-(x+2)

=5 所以函数的最小值是 5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(x-3)-(x+2)

≤5 得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是 5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，

表示 x 到 3，-2 这两点的距离之和，显然当-2≤ x≤3 时，距离之和最小，最小值是 5；而

表示 x 到 3，-2 这两点的距离之差， 当 x≤-2 时，取最小值-5，当 x≥3 时，取最大值 5 x x x x x2 ［变题 1］解下列不等式：(1)

<3 ［ 思 路 ］ 利 用 ｜ f(x) ｜ g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 x x x x 解：(1)原不等式等价于 +1>2－ 或 +1<－(2－ ) x x x 1 2 解得 > 或无解，所以原不等式的解集是{ 1

>2} x x x x2 (2)原不等式等价于－3 < －2 －6<3 即 x 2 x 2 2x 2x 6 6 3x 3x x 2 x 2 x60 5x 6 0 ( ( x x 3)(x 2) 0 1)(x 6) 0 x 3或x 1 x 6 2 x 2< <6 x x 所以原不等式的解集是{

2< <6} .. . wd. . 1 3x x 4 1．解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2） 2 ≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x2-2>x2-3x-4 ① 或 x-x2-2<-(x2-3x-4) ② 解①得：1- 2 -3 故原不等式解集为｛x｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜ 17 4 4 而 x2-x+2＝(x- )2+ >0 所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于 x2-x+2>x2-3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ 3x （2）分析 不等式可转化为-1≤ x2 4 ≤1 求解，但过程较繁，由于不等式 3x x2 4 ≤1 两边均为正，所以可平方后求解. 3x 2 原不等式等价于 x2 4 ≤1 9x2≤(x2-4)2 (x≠±2) x4-17x2+16≥0 x2≤1 或 x2≥16 -1≤x≤1 或 x≥4 或 x≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的 f(x)的值的围可确定(包括恒正或恒非负， 恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第 2 变 含两个绝对值的不等式 x x a ［变题 2］解不等式（1）

；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜ f2(x)〈g2(x) 两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于

≥0，所以两边平方后有： x x a 2 2

x x ax a x x 2 2 即有 －2 +1< +2 a a 2 2 + ，整理得(2 +2) >1－ .. . wd. . 1 1 a x 2 a 当 2 a +2>0 即 >－1 时，不等式的解为 > (1－ )； a a 当 2 +2=0 即 =－1 时，不等式无解； a a x 当 2 +2<0 即 <－1 时，不等式的解为 < 1 (1 a) 2 （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当 x≤-3 时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5 -2x>6 x<-3. 当-35 5>5 无解. 当 x≥2 时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5 2x>4 x>2. 综合得：原不等式解集为｛x｜x>2 或 x<-3｝. ［请你试试 4—2］ 1 解关于 x 的不等式

( a >0 且 a ≠1) 解析：易知－1< x <1，换成常用对数得：

lg(1 lg a x)

lg(1 lg a x)

2 于是 lg2 (1 x) lg2 (1 x) 0 ∴ [lg(1 x) lg(1 x)][lg(1 x) lg(1 x)] 0 ∴ lg(1 x2 ) lg 1 1 x x 0 x ∵－1< <1 ∴0<1－ x2 <1 ∴ lg (1－ x2 )<0 ∴ lg 1 1 x x <0 .. . wd. . 1 ∴0 1 1 x x 1 x 解得 0< <1 x 2 2．不等式

< +1 的解集为 。 解： 4 x(x 1) 2